Caïro-patroon
Met een regelmatige vijfhoek kan geen aaneengesloten
patroon gemaakt worden, omdat de binnenhoek van 108°
niet deelbaar is op 360°. Met de vijfhoek in de afbeelding
hiernaast kan dat wel.

De vijfhoekige vormen van deze betegeling zijn te vinden
in de straten van Caïro (in andere samenstelling).

De Caïro-vijfhoek is gelijkzijdig maar niet gelijkhoekig.

Knooppunten
Per knooppunt komen er 3 òf 4 hoekpunten samen.
M.a.w. de orde van de knooppunten is:
-  3   (oranje stippen)
-  òf  4   (open cirkels).
Bij knooppunt type 4 is goed te zien dat elke vijfhoek
2 hoeken van 90° heeft.
Voor de overige 3 hoeken waarvan er 2 gelijk zijn blijft er
dan 540° - 180° = 360° over, vandaar dat het patroon bij
de stippen goed opelkaar aansluit.

Zie verder eigenschappen voor de onderliggende
meetkunde van de Caïro-vijfhoek.

Eigenschappen van de Caïro-vijfhoek

-  de vijfhoek is gelijkzijdig, maar niet gelijkhoekig

-  hoek B en C zijn rechte hoeken

-  hoek A, D en E zijn samen 540° - 2 . 90° = 360°

-  stel de lengte van de zijden op 1, dan hebben de
    diagonalen lengte √2

-  cos α = 1/2√2  -->  α = 69,3°
    dus hoek D en E zijn elk  69,3° + 45° = 114,3°

-  voor hoek A blijft over:  360° - 2 . 114,3° = 131,4°