WISKUNST
wiskunde in beeld gebracht
Fibonacci-reeks
versie  2.3
n012345678910 11121314151617181920
Fn0112358132134 55891442333776109871597258441816765

De Fibonacci-reeks is genoemd naar Leonardo
Pisano, beter bekend als Fibonacci, die de rij
beschrijft in zijn boek Liber Abaci  (1202).
De eerste 20 getallen staan hierboven.

De rij begint met 0 en 1. Elk volgend getal is de
som van de twee voorgaande:  Fn = Fn-2 + Fn-1

De rij heeft een nauwe relatie met de gulden snede
en bezit vele opmerkelijke eigenschappen.
Een aantal staan hieronder vermeld:
-  quotient 2 opeenvolgende getallen nadert φ
-  bepaling ne Fibonacci getal
-  som 10 opeenvolgende getallen deelbaar door 11
-  som van de eerste n kwadraten is  Fn . Fn+1
-  de unieke relatie tussen φ  en  1/φ
-  de machten van φ
quotient van 2 opeenvolgende getallen nadert φ  (= 1,6180339...)

Fn / Fn-1 nadert naar φ,  zie onderstaande tabel.
Bij 1597 / 987 is het verschil met φ nog slechts zeer gering.

1/11 144/891,617978
2/12 233/1441,618056
3/21,5 377/2331,618025
5/31,666667 610/3771,618037
8/51,6 987/6101,618033
13/81,625 1597/9871,618034
21/131,615385
34/211,619048
55/341,617647
89/551,618181
De formule van Binet voor bepaling van Fn

Fn = ( φn - ψn ) / √5

waarbij:
φ = ( 1 + √5 ) / 2  ≈  1,6180339...
ψ = ( 1 - √5 ) / 2  =  1 - φ  ≈  -0,6180339...

Bereken Fn met Binet's formule:   vul n in (max. 100) en enter

n = Fn = 610
de som van 10 opeenvolgende getallen is deelbaar door 11

Fn + Fn+1 + ... + Fn+9 = veelvoud van 11

voorbeeld:
som F4 t/m F13 =
3 + 5 + 8 + 13 + 21 +34 + 55 + 89 + 144 + 233 = 605 = 55 x 11

bereken som 10 getallen:   vul n in (0 ≤ n ≤ 50) en enter

n = F4 + ... + F13 = 605 = 55 x 11
de som van de eerste n kwadraten is gelijk aan Fn . Fn+1

voorbeeld   als n = 7  dan geldt :
1² + 1² + 2² + 3² + 5² + 8² + 13² = 13 . 21 = 273

een grafische weergave van de kwadraten maakt de formule duidelijk.

bereken som van n kwadraten:   vul n in (0 ≤ n ≤ 30) en enter

n = 1 + ... + F²7 = F7 . F8 = 13 . 21 = 273
de som van de eerste n kwadraten is gelijk aan Fn . Fn+1

voorbeeld   als n = 7  dan geldt :
1² + 1² + 2² + 3² + 5² + 8² + 13² = 13 . 21 = 273

grafische weergave van kwadraten m.b.v. vierkanten :
sluit
de unieke relatie tussen φ  en  1/φ

voorbeelden van oplopende F-ratio's :
5/3  = 1,666666 2/3  =0,666666
8/5  = 1,600000 3/5  =0,600000
13/8  = 1,625000 5/8  =0,625000
21/13  = 1,615385 8/13  =0,615385

ofwel algemeen:  Fn+1 / Fn  =  Fn-1 / Fn + 1

bij zeer grote getallen nadert dit naar  ≈  Fn / Fn+1 + 1
aangezien Fn+1 / Fn gelijk is aan φ geldt dus:

φ  =  1/φ + 1     een relatie die alleen bij het getal φ voorkomt

dus  φ - 1/φ - 1 = 0  -->  φ2 - φ - 1 = 0
-->  positieve waarde φ  =  ½ (1 + √5)  =  1,6180339...
de machten van φ

als eerste  φ² =
=  ½ (1 + √5) . ½ (1 + √5)
=  ¼ (1 + 2√5 + 5)
=  ½ (√5 + 3)
=  ½ (√5 + 1) + 1  dus   φ²  =  φ + 1

φ³  =  φ . φ²   =  2φ + 1
φ4  =  φ² . φ²  =  3φ + 2
φ5  =  φ³ . φ²  =  5φ + 3
φ6  =  φ³ . φ³  =  8φ + 5  
φ7  =  φ4 . φ³  =  13φ + 8   etc.

en zo zien we de Fibonacci-reeks weer ontstaan bij de coëfficient van φ en bij de constante

φn =  Fn . φ + Fn-1