WISKUNST
wiskunde in beeld gebracht
Julia set
iteratie
versie  2.3
Your browser doesn't support the HTML5 canvas tag.
  niveau:
  vergroting:
  max. iteraties:


iteratie
herhaald uitvoeren van zn+1 = zn² + c, waarbij zowel z als
c een complex getal is. Zie verder algoritme.
Voor een mooie weergave zie voorbeelden.

Door iteraties telkens met 1 te verhogen (page-up) of te
verlagen (page-down), wordt zichtbaar hoe de oranje
eindwaarde wordt aangetrokken door één of meer rode
punten, de aantrekkers.  Zie hieronder voorbeeld 1 t/m 9.
Re (c)
Im (c)
Re (z)
Im (z)
iteraties
eindwaarden:
Re z =
Im z =
periode = 1
voorbeeld
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Algoritme Julia set  Jc
Jc onstaat door herhaald uitvoeren van zn+1 = zn² + c met startwaarde  a + bi  en  constante c + di.
Dan ontstaat volgende rij:
z1 = (a + bi)² + c + di  =  a² - b² + c + (2ab + d)i
z2 = z1² + c = ...
Weergave in het complexe vlak:  Rez = a² - b² + c   en   Imz = (2ab + b)i

Gebruik de page-up toets om het aantal iteraties vanaf 1 telkens met 1 te verhogen (of page-down voor verlagen).
Tijdens het itereren van 1 naar n lijkt de eindwaarde te worden 'aangetrokken' door een punt in het complexe vlak,
de aantrekker genoemd (attractor). Er kunnen ook meerdere aantrekkers zijn,  zie voorbeeld 5 met 5 aantrekkers.
Soms is er aantrekking zonder aanwijsbare aantrekkers, dit wordt chaotisch gedrag genoemd (strange attractor).

Dichotomie
G. Julia en P. Fatou hebben voor Julia-sets aangetoond dat er bij iteratie van elke c-waarde slechts 2 mogelijkheden zijn:
-  convergeren binnen bepaalde grenzen of divergeren naar ∞.
Bepalend daarbij is het iteratiegedrag van de c-waarde bij startwaarde z0 = 0:
-  ze vormen resp. een aaneengesloten Julia-set (dus een figuur uit één stuk), genoemd naar de Franse wiskundige Gaston Julia.
-  of een Cantor-set, een 'wolk' van punten, te klein om op het scherm zichtbaar te maken.

Kritische grens
Dus niet voor alle waarden van c is er een fractal.  Soms is de grens zeer kritisch,  klik op voorbeeld 6 en vergelijk
Im(c) 0.417 met Im(c) 0.422.  Bij de laatste waarde is de fractal vrijwel verdampt tot 'Fatou-stof', een wolk van punten.

Relatie met Mandelbrotverzameling
De vraag is: bestaat er een verzameling complexe waarden van c die altijd een fractal opleveren? Het antwoord daarop is de
Mandelbrotverzameling. Wiskundig is aangetoond dat als er voor een c-waarde een aantrekkingsgebied is dan ligt de startwaarde
z = 0 daar altijd in  (dus Rez = 0 en Imz = 0).
Daarmee kunnen we de Mandelbrotverzameling samenstellen: alle c-waarden die bij startwaarde z = 0 door itereren worden aangetrokken behoren tot de Mandelbrotverzameling.

Help

Invoer
-  vul de waarden in voor Re,  Im  en aantal iteraties
-  toets enter

Iteratie
-  aantal iteraties plus 1:  page-up toets
-  aantal iteraties minus 1:  page-down toets
-  aantal terugzetten naar 1:  resetknop

Maximum aantal iteraties
Desgewenst kan het maximum aantal iteraties voor het berekenen van de fractal worden ingesteld van 250 naar 1500,  zie menuknop onderaan de afbeelding.
Hoe hoger het aantal hoe nauwkeuriger de berekening maar des te langer de benodigde rekentijd.

Vergroting
-  dubbelklik op het in te zoomen punt
-  of: klik op het zoompunt en klik binnen de focusbox
-  focus verschuiven: pijltjestoetsen
-  focus weghalen: klik buiten de focusbox
-  opnieuw beginnen: resetknop.

Maximaal kan ingezoomd worden t/m niveau 11,  een
vergroting van 210 = 1.024 keer,
niveau en vergroting staan onderaan de afbeelding.