iteratie
herhaald uitvoeren van z
n+1 = z
n² + c, waarbij zowel z als
c een complex getal is. Zie verder
algoritme.
Voor een mooie weergave zie
voorbeelden.
Door iteraties telkens met 1 te verhogen (
page-up) of te
verlagen (
page-down), wordt zichtbaar hoe de oranje
eindwaarde wordt aangetrokken door één of meer rode
punten, de
aantrekkers. Zie hieronder voorbeeld 1 t/m 9.
eindwaarden:
Re z =
Im z =
periode = 1
Algoritme Julia set Jc
J
c onstaat door herhaald uitvoeren van z
n+1 = z
n² + c met startwaarde a + b
i en constante c + d
i.
Dan ontstaat volgende rij:
z
1 = (a + b
i)² + c + d
i = a² - b² + c + (2ab + d)
i
z
2 = z
1² + c = ...
Weergave in het complexe vlak: Re
z = a² - b² + c en Im
z = (2ab + b)
i
Gebruik de
page-up toets om het aantal iteraties vanaf 1 telkens met 1 te verhogen (of
page-down voor verlagen).
Tijdens het itereren van 1 naar n lijkt de eindwaarde te worden 'aangetrokken' door een punt in het complexe vlak,
de
aantrekker genoemd (attractor). Er kunnen ook meerdere aantrekkers zijn, zie voorbeeld 5 met 5 aantrekkers.
Soms is er aantrekking zonder aanwijsbare aantrekkers, dit wordt
chaotisch gedrag genoemd (strange attractor).
Dichotomie
G. Julia en P. Fatou hebben voor Julia-sets aangetoond dat er bij iteratie van elke c-waarde slechts 2 mogelijkheden zijn:
-
convergeren binnen bepaalde grenzen of
divergeren naar ∞.
Bepalend daarbij is het iteratiegedrag van de c-waarde bij startwaarde z
0 = 0:
- ze vormen resp. een aaneengesloten
Julia-set (dus een figuur uit één stuk), genoemd naar de Franse wiskundige Gaston Julia.
- of een
Cantor-set, een 'wolk' van punten, te klein om op het scherm zichtbaar te maken.
Kritische grens
Dus niet voor alle waarden van c is er een fractal. Soms is de grens zeer
kritisch, klik op voorbeeld 6 en vergelijk
Im(c) 0.417 met Im(c) 0.422. Bij de laatste waarde is de fractal vrijwel verdampt tot 'Fatou-stof', een wolk van punten.
Relatie met Mandelbrotverzameling
De vraag is: bestaat er een verzameling complexe waarden van c die altijd een fractal opleveren? Het antwoord daarop is de
Mandelbrotverzameling. Wiskundig is aangetoond dat als er voor een c-waarde een aantrekkingsgebied is dan ligt de startwaarde
z = 0 daar altijd in (dus Re
z = 0 en Im
z = 0).
Daarmee kunnen we de Mandelbrotverzameling samenstellen: alle c-waarden die bij startwaarde z = 0 door itereren worden aangetrokken behoren tot de Mandelbrotverzameling.