De Mandelbrotfractal (kortweg M)
ontstaat door de volgende
iteratie:
z
n+1 = z
n² + c, waarbij z
0 = 0 en c = a + b
i.
Voor meer info daarover zie
algoritme.
M heeft een aantal interessante
eigenschappen.
Voor een mooie weergave zie
voorbeelden.
Iteraties met 1 verhogen / verlagen:
page-up / page-down.
De oranje eindwaarde roteert tegen de klok in naar één of meer
aantrekkers (rode punten).
De periode (aantal aantrekkers) is af te lezen aan:
- het aantal spaken van een antenne-knooppunt
- én het aantal uitlopers van een knooppunt van de
corresponderende Julia-set, zie voorbeelden.
c-waarde:
Re c =
Im c =
iteraties = 0
eindwaarden:
Re z =
Im z =
periode = 1
Eigenschappen
De gehele M-verzameling ligt binnen een cirkel met een straal 2 en middelpunt in de oorsprong van het
assenkruis. M is symmetrisch t.o.v. de Re-as.
Dichotomie
Bij de iteratie van z
n+1 = z
n² + c met z
0 = 0 zijn er slechts 2 mogelijkheden: divergeren naar ∞ of convergeren (zie algoritme).
Alleen c-waarden die convergeren behoren tot de M-verzameling. Deze zijn periodiek of 'chaotisch', zie hieronder.
Periodiciteit
Tijdens het itereren lijkt de oranje eindwaarde te worden 'aangetrokken' door een rood punt in het complexe vlak,
de
aantrekker (attractor). Er kunnen ook meerdere aantrekkers zijn. Het aantal aantrekkers wordt periode genoemd.
Soms is er aantrekking zonder aanwijsbare aantrekkers, dit wordt
chaotisch gedrag genoemd (strange attractor).
Kenmerken van de hoofdfiguur
- de cardioïde, de grootste vorm, snijdt de Re-as van -0.75 tot 0.25, en heeft 1 aantrekkingspunt: de periode = 1
- de linker hoofdcirkel, r = 0.25 en centrum (-1,0), heeft 2 aantrekkingspunten: de periode = 2
- de linker hoofdantenne, eindigt bij (-2,0)
- een halo van 'eilandjes', miniaturen van de grote vorm, veelal gekanteld, en verbonden met het 'vasteland' via spaken
het grootste eiland bevindt op de hoofdantenne in c = 7/4 met een omvang van ± 1/50 van de grote vorm, de periode = 3
Primaire bollen
- aan de cardioïde en hoofdcirkel zitten talloze
primaire bollen vast, bijna-cirkels met eigen antennes,
alle punten binnen zo'n bol hebben dezelfde periode (aantal aantrekkers)
- de periode is af te lezen aan het aantal spaken van een antenne-knooppunt én aan het aantal uitlopers van een knooppunt
van de corresponderende Julia-set, zie voorbeelden.
Rotatiequotient p/q
- elke primaire bol wordt gekenmerkt door een
rotatiequotient p/q, het quotient van combinatie-nummer en periodenummer
- tijdens het iteren roteert de eindwaarde tegen de klok in langs de aantrekkers (weergegeven als rode punten)
- de eindwaarde verspringt daarbij 1 of n stappen naar links (combinatienummer = het aantal stappen)
- het rotatiequotient is altijd een rationaal getal (breuk van 2 gehele getallen)
- het rotatiequotient van de grootste bol tussen 2 bollen is te bepalen door 'verkeerd' optellen van die 2 bollen, zie voorbeelden
- de periodenummers van de bollen vormen een
Fibonacci-reeks, zie voorbeeld
Secondaire bollen
- de primaire bollen hebben op hun beurt weer talloze
secondaire bollen, deze vertakking zet zich oneindig voort en vormt
op deze wijze een fractal
- de periode van een secondaire of tertiare bol is een veelvoud van zijn primaire bol
- de aantrekkers staan veelal in clusters bij elkaar, zie voorbeelden
Bifurcatie
Lat. tweevork, Poincaré. Het opsplitsen in 2 of meer aantrekkingspunten wordt
bifurcatie genoemd.
Op de Re-as, gaande vanuit het centrum naar -2, is dat goed te zien bij de raakpunten tussen de steeds kleiner wordende bollen.
Bij de volgende c-waarden verdubbelt de periode:
-0.75, -1.25, -1.3681, -1.3940, -1.3996, -1.4008, -1.4011, -1.40114, -1.401153, -1.4011552...
de periode wordt resp. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024...
Kies daarbij het aantal iteraties voldoende hoog, d.w.z hoger dan de periode.