Klik op start animatie.
Na elkaar worden 5 iteraties getoond.
Met de knoppen onderaan de afbeelding
kan de iteratie ook 1 voor 1 worden
uitgevoerd. De 5e iteratie kan traag zijn.
De 'sneeuwvlok' is bedacht door de wiskundige
Helge von Koch en is gebaseerd op de
Koch-kromme.
Iteratie
- begin met een gelijkzijdige driehoek
- verdeel elke zijde in 3 delen van gelijke lengte
- vervang het middelste deel door een gelijkzijdige
driehoek
- verwijder de basis van die driehoek
- herhaal de procedure voor elk lijnsegment.
De Koch-sneeuwvlok is de limiet van een oneindig
aantal iteraties (is hier begrensd op 5x).
Als het aantal iteraties toeneemt :
- groeit de omtrek naar
oneindig, zie
lijst
- maar het oppervlak is
eindig, want de vorm
blijft binnen de omschreven cirkel.
Stel het oppervlak
O van de begindriehoek
op 1, dan nadert
O tot 8/5.
Hausdorff-dimensie sneeuwvlok :
Als we een lijnsegment
L 3x zo lang maken en
één iteratie uitvoeren, dan wordt
L 4x zo lang.
Dus voor de sneeuwvlok-dimensie
d geldt :
- 4 = 3
d ofwel
d = ln(4) / ln(3) =
...
-
d is dus niet 1- of 2-dimensionaal, maar een
waarde tussen 1 (lijn) en 2 (vierkant).