WISkunst
wiskunde in  beeld gebracht
Koch sneeuwvlok
versie  2.4
Klik op start animatie.
Na elkaar worden 5 iteraties getoond.
Met de knoppen onderaan de afbeelding
kan de iteratie ook 1 voor 1 worden
uitgevoerd. De 5e iteratie kan traag zijn.

De 'sneeuwvlok' is bedacht door de wiskundige
Helge von Koch en is gebaseerd op de Koch-kromme.

Iteratie
-  begin met een gelijkzijdige driehoek
-  verdeel elke zijde in 3 delen van gelijke lengte
-  vervang het middelste deel door een gelijkzijdige
    driehoek
-  verwijder de basis van die driehoek
-  herhaal de procedure voor elk lijnsegment.
De Koch-sneeuwvlok is de limiet van een oneindig
aantal iteraties (is hier begrensd op 5x).

Als het aantal iteraties toeneemt :
-  groeit de omtrek naar oneindig, zie lijst
-  maar het oppervlak is eindig, want de vorm
    blijft binnen de omschreven cirkel.

Stel het oppervlak O van de begindriehoek
op 1, dan nadert O tot 8/5.

Hausdorff-dimensie sneeuwvlok :
Als we een lijnsegment L  3x zo lang maken en
één iteratie uitvoeren, dan wordt L  4x zo lang.
Dus voor de sneeuwvlok-dimensie d geldt :
-   4 = 3d   ofwel d  =  ln(4) / ln(3)  =  ...
-   d is dus niet 1- of 2-dimensionaal, maar een
    waarde tussen 1 (lijn) en 2 (vierkant).



Per iteratie neemt de lengte toe met 4/3.
Na n iteraties geldt Ln = L0 . (4/3)n

iteratieslengte      iteratieslengte
03      1171.03
14      1294.71
25.33      13126.28
37.11      14168.37
49.48      15224.49
512.64      16299.32
616.86      17399.1
722.47      18532.13
829.97      19709.51
939.95      20946.01
1053.27      211261.35
  iteratie:
  omtrek: