De Mandelbrotfractal, genoemd naar
B. Mandelbrot, ontstaat door de iteratie z_n+1 = z_n² + c
met startwaarde z₀ = 0 en c = a + bi.
Voor meer info daarover zie algoritme.

Klik op de knop details voor diverse interessante
gedeeltes van de fractal. Zie ook de fotoserie.
Voor een overzicht van eigenschappen klik hier.

De fractal wordt in zwart weergegeven en het
omringende gebied in diverse tinten.

Een intrigerend aspect van deze verzameling is de
fractal-eigenschap. Door dieper in te zoomen op de
afbeelding komen er talloze vormen tevoorschijn.
Wat er op het eerste gezicht uitziet als een tentakel
of bloem blijkt bij verdere vergroting te bestaan uit
kleine, uiterst gecompliceerde structuren en zwarte
'eilandjes', miniaturen van de grote Mandelbrotvorm,
verbonden met het 'vasteland' via 'uitlopers'.

Klik om in te zoomen bijv. een aantal keren (max. 8)
op één van deze woorden: antenne, tentakel of uitloper,
of ga via menuknop details bijv. naar spiralen.

Zie verder help info.

Benoît Mandelbrot    (1924 - 2010)

Franse wiskundige die grotendeels verantwoordelijk is voor de huidige interesse in fractals.
Hij bouwde voort op het werk van G.M. Julia en liet zien dat fractals op verschillende
gebieden van de wis- en natuurkunde kunnen worden toegepast.

Hij bestudeerde recursieve structuren en bedacht het begrip fractal.
Een recursieve functie is bijvoorbeeld de Fibonacci-rij  F_n = F_n-1 + F_n-2
In een fractal zoals de Koch-kromme zijn kleinere delen gelijkvormig aan het geheel.
Hij gebruikte rond 1980 een computer om Julia-verzamelingen af te beelden met
de vergelijking z² + c,  waarbij z en c complexe getallen zijn.

Terwijl hij onderzocht hoe de vorm van de verzameling afhing van c als
complexe parameter ontdekte hij de Mandelbrotverzameling, een fractal die
naar hem genoemd is.

Hiernaast de eerste computerafbeelding door Brooks en Matelski uit 1978.
Duidelijk te zien is de centrale cardioïde, de linker cirkel met horizontale antenne
en enkele kleinere uitstulpsels.
In de jaren daarna zijn met behulp van moderne computers meer kleurrijke
afbeeldingen gemaakt.
De fraaie, maar zeer gecompliceerde structuren zijn niet vooraf door deze
wiskundige 'bedacht' maar zijn een 'ontdekking' geweest.

Mandelbrot algoritme
De Mandelbrotfractal (kortweg M) is de verzameling punten van de donkergekleurde figuur in de afbeelding.
Deze punten hebben bijzondere eigenschappen.
M vinden we door iteratie, dus herhaald uitvoeren, van:  z_n+1 = z_n² + c.
Kenmerkend voor M daarbij is: startwaarde z₀ = 0 en c is een complex getal  a + bi.

De berekende waarde van een iteratie is invoer voor de volgende iteratie. Dan ontstaat volgende rij:
z₀ = 0
z₁ = z₀² + c = a + bi
z₂ = z₁² + c = (a + bi)² + a + bi  =  a² - b² + a + (2ab + b)i
z₃ = z₂² + c = ...

Dichotomie
G. Julia en P. Fatou hebben voor Julia-sets aangetoond dat er bij iteratie van elke c-waarde slechts 2 mogelijkheden zijn:
convergeren binnen bepaalde grenzen of divergeren naar ∞.
Bepalend daarbij is het iteratiegedrag van de c-waarden bij startwaarde z₀ = 0:
-  bij convergentie vormen ze een aaneengesloten Julia-set (dus een figuur uit één stuk)
-  bij divergentie een Cantor-set, een 'wolk' van punten, te klein om op het scherm zichtbaar te maken.
M is de verzameling van punten met convergentie (weergegeven in donkere kleur).
Punten met divergentie behoren niet tot M (weergegeven in diverse lichtere kleuren).

Maximum aantal iteraties
De afbeelding bestaat uit 500 x 500 = 250.000 punten in het complexe vlak.
Om voor alle 250.000 afgebeelde punten convergentie vast te stellen worden per punt standaard 500 iteraties uitgevoerd,
met de aanname dat dit aantal voldoende is om te bepalen of de eindwaarde wel/niet ∞ wordt.
Wordt de eindwaarde niet ∞, dan krijgt het betreffende punt een donkere kleur. Wel ∞, dan een lichte kleur.

Het algoritme is dus een benadering, maar blijkt in de praktijk goed te voldoen.
Desgewenst kan het maximum aantal iteraties worden ingesteld op automatisch òf handmatig van 250 tot 10.000.
Hoe hoger het aantal des te nauwkeuriger de weergave maar des te langer de benodigde rekentijd.
Voor wat expirimenteren is 500 iteraties veelal voldoende. Maar bij uitvergroten is een hoger maximum nodig voor een beter
beeld. Houd in dat geval rekening met een langere rekentijd.

Versnelling algoritme
Het volgende wordt gebruikt om het aantal berekeningen te reduceren en zo het algoritme te versnellen:
-  voor de gehele M-verzameling geldt dat de modulus |c| ≤ 2, ofwel alle c-waarden liggen binnen een cirkel met straal 2
-  de M-verzamling is symmetrisch boven en onder de Re-as
-  de grootste vorm, de cardioïde, heeft een periode 1,  zie overzicht met eigenschappen.

Keuzemenu's
Klik op de betreffende menuknop om te openen.
Klik nogmaals om te sluiten. Dit geldt ook voor
de menuknop 'coördinaten'.

Maximum aantal iteraties
Automatisch òf handmatig van 250 tot 10.000.
Hoe hoger het aantal des te nauwkeuriger de afbeelding
maar des te langer de benodigde rekentijd. Voor wat
expirimenteren is 500 iteraties veelal voldoende.
Bij dieper inzoomen is een hoger maximum nodig.

Focus
-  klik op de gewenste positie of focusknop
   focusbox en vizier (rode cirkel) verschijnen
-  focus verschuiven: met muis (mits buiten het vizier)
   of met pijltjestoetsen

Vergroten
-  klik in het vizier (rode cirkel) of toets enter
-  verder inzoomen: herhalen of kies niveau
-  focus weghalen: klik buiten de focusbox
-  terug naar startsituatie: resetknop.
-  maximaal kan ingezoomd worden t/m niveau 18,
    vergroting van 2¹⁸ = 262.144 keer.

Beeld verschuiven
-  met pijltjestoetsen (kan langzaam zijn)

Kenmerkende details van de hoofdfiguur

-  de fractal is symmetrisch rond de Re-as

-  de cardioïde, de grootste vorm, snijdt de Re-as van -0.75 tot 0.25
   de cardioïde wordt begrensd door een kromme met de volgende vergelijking:
   4x = 2 cos t - cos 2t
   4y = 2 sin t = sin 2t
   de periode = 1,  voor meer info over periodiciteit en ook de Fibonacci-eigenschappen daarvan,  zie iteratie.

-  de linker hoofdcirkel, r = 0.25 en  centrum (-1,0),   de periode = 2
    het opsplitsen in 2 of meer periodes wordt bifurcatie genoemd, zie hieronder

-  de linker hoofdantenne, eindigt bij (-2,0)

-  een halo van 'eilandjes', miniaturen van de grote vorm, veelal gekanteld, en verbonden met het 'vasteland' via lange draden,
    het grootste eiland bevindt op de hoofdantenne in c = 7/4 met een omvang van ± 1/50 van de grote vorm, de periode = 3

Primaire en secondaire bollen
-  aan de cardioïde en hoofdcirkel zitten talloze primaire bollen vast, bijna-cirkels met eigen antennes
-  alle punten binnen zo'n bol hebben dezelfde periode
-  de periode is af te lezen aan het aantal spaken van een antenne-knooppunt én aan het aantal uitlopers van een knooppunt
   van de corresponderende Julia-set, zie iteratie.
-  de primaire bollen hebben op hun beurt weer talloze secondaire bollen, deze vertakking zet zich oneindig voort en vormt
    op deze wijze een fractal
-  de periode van een secondaire of tertiare bol is een veelvoud van zijn primaire bol

Bifurcatie
-  de bollen op de Re-as tonen telkens een verdubbeling van periode
-  gaande vanaf de grootste bol naar steeds kleinere linkerbollen wordt de periode achtereenvolgens  2,  4,  8,  16,  32,  64, ...
-  bij de raakpunten wijzigt de periode, dus de raakpunten worden gemarkeerd door periodeverdubbeling
-  de c-waarden van deze raakpunten zijn resp.  -0.75,  -1.25  -1.3681,  -1.3940,  -1.3996,  -1.4008, ...
-  de diameters van 2 aangrenzende bollen zich verhouden als  (c_n-1 - c_n-2 ) / (c_n - c_n-1 )
-  de ratio's convergeren naar de Feigenbaum-constante  δ  ≈  4.6689
-  voor voorbeelden van c-waarden en periodes tot 1.024,  zie iteratie.

Palet

Wijzig de intensiteit van de kleuren
m.b.v. de plus- en minknoppen.