WISkunst
wiskunde in beeld gebracht
matrix toepassing
elektrische netwerken doorrekenen
versie 2.4
Gegeven:
- een elektrisch circuit met 4 gesloten lussen
- elke lus bevat een voedingsbron en enkele weerstanden
Gevraagd:
- de stroomsterkte in elke lus, ofwel I1, I2, I3, en I4
N.B. Het circuit is tot op zekere hoogte flexibel en kan worden gewijzigd, zie help.
Bijvoorbeeld voeding en weerstand verhogen/verlagen, het aantal lussen terugbrengen naar 3, 2 of 1.
- een elektrisch circuit met 4 gesloten lussen
- elke lus bevat een voedingsbron en enkele weerstanden
Gevraagd:
- de stroomsterkte in elke lus, ofwel I1, I2, I3, en I4
N.B. Het circuit is tot op zekere hoogte flexibel en kan worden gewijzigd, zie help.
Bijvoorbeeld voeding en weerstand verhogen/verlagen, het aantal lussen terugbrengen naar 3, 2 of 1.
In dit vak kunnen de waarden worden
gewijzigd, zie help. Klik daarna op 'bereken'.
gewijzigd, zie help. Klik daarna op 'bereken'.
voedingsbronnen:
weerstanden:
Oplossing:
- maak een rondgang door elke lus
- kies daarbij als richting: tegen de klok in, voor lus 1 is dat abcda
- pas de wet van Ohm en de spanningswet van Kirchhoff toe, zie uitleg.
- de som van de doorlopen potentiaalverschillen in elke lus is gelijk aan nul (Kirchhoff)
- in het gegeven voorbeeld met 4 lussen geldt voor de 1e lus: 1I1 + 7I1 - 7I3 + 4I1 - 4I2 - 40 = 0 --> 12I1 - 4I2 - 7I3 = 40
- op dezelfde manier worden vergelijkingen opgesteld voor de overige lussen
- dat levert 4 vergelijkingen op met 4 onbekenden, per lus een vergelijking, de onbekenden zijn I1, I2, I3 en I4
- de gezochte stroomsterktes zijn af te lezen uit de laatste kolom van de 2e matrix
- maak een rondgang door elke lus
- kies daarbij als richting: tegen de klok in, voor lus 1 is dat abcda
- pas de wet van Ohm en de spanningswet van Kirchhoff toe, zie uitleg.
- de som van de doorlopen potentiaalverschillen in elke lus is gelijk aan nul (Kirchhoff)
- in het gegeven voorbeeld met 4 lussen geldt voor de 1e lus: 1I1 + 7I1 - 7I3 + 4I1 - 4I2 - 40 = 0 --> 12I1 - 4I2 - 7I3 = 40
- op dezelfde manier worden vergelijkingen opgesteld voor de overige lussen
- dat levert 4 vergelijkingen op met 4 onbekenden, per lus een vergelijking, de onbekenden zijn I1, I2, I3 en I4
- de gezochte stroomsterktes zijn af te lezen uit de laatste kolom van de 2e matrix
vergelijkingen:
➔
oplossingen:
➔
Wet van Ohm
Volgens de wet van Ohm is de stroomsterkte door een geleider
rechtevenredig met het potentiaalverschil tussen de uiteinden.
In formule: U = I . R, waarbij:
- U = potentiaalverschil (spanning) in V (Volt)
- I = stroomsterkte in A (Ampère)
- R = weerstand in Ω (Ohm).
Elektrisch circuit
De afbeelding toont een circuit met 2 gesloten lussen:
- 1e lus ABCDA met stroomsterkte I1
- voedingsbron 40 V
- 4 weerstanden: 1, 14, 14 en 4Ω
- 2e lus (deels getekend) met stroomsterkte I2.
Voorbeeld wet van Ohm:
Als het circuit uitsluitend zou bestaan uit één lus met alleen
40 V voeding en 4Ω weerstand, dan geldt: U = Ilus . R ofwel 40 = Ilus . 4 --> Ilus = 10 A
Omdat I = U / R, mag R (de totale weerstand in een lus) niet nul zijn.
Serie- en parallelschakeling
Indien weerstanden parallel geschakeld zijn, wordt de stroomdoorgang gemakkelijker en de vervangingsweerstand Rv lager.
Uit de wet van Ohm volgt: 1/Rv = 1/R1 + 1/R2 + ... Voorbeeld: RBC = 1/14 + 1/14 = 1/7 --> RBC = 7Ω.
Indien weerstanden in serie geschakeld zijn, wordt de stroomdoorgang moeilijker en de vervangingsweerstand Rv hoger.
Uit de wet van Ohm volgt: Rv = R1 + R2 + ... Voorbeeld: RABCD = 1 + 7 + 4 = 12Ω.
Tekenconventie
T.b.v. de berekening van de lusstromen gaan we uit van de volgende tekenconventie.
Bij de rondgang door een lus, in de richting van hoger naar lager potentiaal, noteren we de potentiaalverschillen over de
weerstanden als positieve waarden en over de voedingsbron als een negatieve waarde.
Bij de gekozen richting gaan we in lus 1 van C naar D en in lus 2 van D naar C, dus in tegengestelde richting.
Het potentiaalverschil in lus 1 over CD is derhalve: 4I1 - 4I2.
Spanningswet van Kirchhoff
Volgens de spanningswet van Kirchhoff is de som van de potentiaalverschillen in een gesloten lus, rekening houdend met de
gekozen richting, gelijk aan nul. Voor de 1e lus geldt dus: 1I1 + 7I1 + 4I1 - 4I2 - 40 = 0 --> 12I1 - 4I2 = 40.
Stelsel van vergelijkingen
Bij een circuit bestaande uit meerdere lussen kan per lus een vergelijking worden opgesteld.
Een circuit van bijv. 5 gesloten lussen levert een stelsel op van 5 vergelijkingen met 5 onbekenden.
De onbekenden zijn de stroomsterktes In.
Matrices zijn een handig hulpmiddel om een dergelijk stelsel op te lossen.
De berekende waarden voor In kunnen zowel positief als negatief zijn. In een lus met In < 0 is de stroomrichting tegengesteld
aan die van een lus met In > 0.
Volgens de wet van Ohm is de stroomsterkte door een geleider
rechtevenredig met het potentiaalverschil tussen de uiteinden.
In formule: U = I . R, waarbij:
- U = potentiaalverschil (spanning) in V (Volt)
- I = stroomsterkte in A (Ampère)
- R = weerstand in Ω (Ohm).
Elektrisch circuit
De afbeelding toont een circuit met 2 gesloten lussen:
- 1e lus ABCDA met stroomsterkte I1
- voedingsbron 40 V
- 4 weerstanden: 1, 14, 14 en 4Ω
- 2e lus (deels getekend) met stroomsterkte I2.
Voorbeeld wet van Ohm:
Als het circuit uitsluitend zou bestaan uit één lus met alleen
40 V voeding en 4Ω weerstand, dan geldt: U = Ilus . R ofwel 40 = Ilus . 4 --> Ilus = 10 A
Omdat I = U / R, mag R (de totale weerstand in een lus) niet nul zijn.
Serie- en parallelschakeling
Indien weerstanden parallel geschakeld zijn, wordt de stroomdoorgang gemakkelijker en de vervangingsweerstand Rv lager.
Uit de wet van Ohm volgt: 1/Rv = 1/R1 + 1/R2 + ... Voorbeeld: RBC = 1/14 + 1/14 = 1/7 --> RBC = 7Ω.
Indien weerstanden in serie geschakeld zijn, wordt de stroomdoorgang moeilijker en de vervangingsweerstand Rv hoger.
Uit de wet van Ohm volgt: Rv = R1 + R2 + ... Voorbeeld: RABCD = 1 + 7 + 4 = 12Ω.
Tekenconventie
T.b.v. de berekening van de lusstromen gaan we uit van de volgende tekenconventie.
Bij de rondgang door een lus, in de richting van hoger naar lager potentiaal, noteren we de potentiaalverschillen over de
weerstanden als positieve waarden en over de voedingsbron als een negatieve waarde.
Bij de gekozen richting gaan we in lus 1 van C naar D en in lus 2 van D naar C, dus in tegengestelde richting.
Het potentiaalverschil in lus 1 over CD is derhalve: 4I1 - 4I2.
Spanningswet van Kirchhoff
Volgens de spanningswet van Kirchhoff is de som van de potentiaalverschillen in een gesloten lus, rekening houdend met de
gekozen richting, gelijk aan nul. Voor de 1e lus geldt dus: 1I1 + 7I1 + 4I1 - 4I2 - 40 = 0 --> 12I1 - 4I2 = 40.
Stelsel van vergelijkingen
Bij een circuit bestaande uit meerdere lussen kan per lus een vergelijking worden opgesteld.
Een circuit van bijv. 5 gesloten lussen levert een stelsel op van 5 vergelijkingen met 5 onbekenden.
De onbekenden zijn de stroomsterktes In.
Matrices zijn een handig hulpmiddel om een dergelijk stelsel op te lossen.
De berekende waarden voor In kunnen zowel positief als negatief zijn. In een lus met In < 0 is de stroomrichting tegengesteld
aan die van een lus met In > 0.
sluit
Het circuit wijzigen
Het circuit kan worden gewijzigd. Dat geeft de mogelijkheid om diverse situaties uit te proberen.
Het kan leerzaam zijn om er a.h.w. mee te 'spelen'.
Rechts van het diagram bevindt zich een invoervak, waarmee de waarden van voedingsbronnen en weerstanden kunnen
worden gewijzigd. Om de wijzigingen van kracht te laten worden: klik op de bereken-knop.
Verhogen of verlagen van één of meer weerstanden
- voer andere waarden in, ≥ nul
- bij decimalen: een decimale punt gebruiken, bijv. 4.25
- bij typefouten, zoals niet-numerieke of negatieve invoer, wordt de waarde gelijk aan nul
- de weerstanden in een lus mogen niet allemaal nul zijn, tenzij de lus is uitgeschakeld (zie hierna)
Verhogen of verlagen van één of meer voedingsbronnen
- gaat analoog aan het wijzigen van weerstanden
Weerstanden uitschakelen
- wijzig de waarde in nul
- de weerstand wordt getoond in lichtgrijze kleur
- de stroom kan er ongehinderd, zonder weerstand te ondervinden, doorheen gaan
Lussen uitschakelen
Het is mogelijk om het netwerk te vereenvoudigen door het aantal lussen terug te brengen naar 3, 2 of zelfs 1 lus.
- wijzig de waarde van de betreffende voedingsbron in nul
- de lus wordt getoond in lichtgrijze kleur, de weerstanden in de lus worden gelijk aan nul
- de lus bestaat niet langer, er loopt geen stroom door
Afronding eindwaarden
- de berekende lusstromen worden afgerond op 2 decimalen
sluit
Voorbeelden
circuit met 2 lussen
circuit met 4 lussen
Andere matrix toepassingen:
lineaire vergelijkingen oplossen
een cirkel door 3 punten
een parabool door 3 punten
warmteplaat
verkeersnetwerk
spoorwegkaart
kleurverloop
chemische reacties balanceren