Een stelsel van lineaire vergelijkingen oplossen m.b.v. Gauss-eliminatie
Het oplossen van het stelsel gaat in 2 stappen:
a.  breng de matrix in echelonvorm d.m.v. matrixrij-bewerkingen (zie hierna)
b.  breng de matrix daarna in gereduceerde echelon-vorm
De oplossing van het stelsel is dan af te lezen uit de rechter kolom van de matrix.

Matrixrij-bewerkingen
Elke matrix-rijbewerking wordt uitgevoerd op de volledige rij, dus op de coëfficiënten én de oplossing.
Anders gezegd: zowel de linker leden als het rechter lid van de vergelijking ondergaan dezelfde bewerking.
Alleen die rij-bewerkingen zijn toegestaan waarbij de gezochte oplossingsverzameling niet verandert, zie elementaire rij-
operaties. Er zijn precies 3 bewerkingen die aan deze voorwaarde voldoen:

1.  r_a ⇄ r_b  verwissel rij r_a en r_b,  voorbeeld: verwissel rij 2 en 3  -->  r₂ ⇄ r₃

2.  r_a := n . r_a  vermenigvuldig rij r_a met n  (n = reëel getal ≠ 0),  voorbeeld: deel rij 3 door 4  -->  r₃ := 0.25 . r₃

3.  r_a := r_a + n . r_b  vermeerder rij r_a met n maal rij r_b  (n ≠ 0),  voorbeeld: trek 3 maal rij 1 af van rij 2  -->  r₂ := r₂ - 3 . r₁

4.  ◄ ►  bewerkingen ongedaan maken of opnieuw uitvoeren, maximaal 30 bewerkingen, zie lijst onderaan.

Echelonvorm (trapvorm), ofwel variabelen elimineren
M.b.v. Gauss-eliminatie wordt de matrix in echelonvorm gebracht, waarbij, in het ideale geval, de linker benedendriehoek
uitsluitend nullen bevat en de hoofddiagonaal enen. Vergelijk de echelonvorm van voorbeeld 1 met die van voorbeeld 3 en 4.

N.B.
Zie de diverse voorbeelden onder de voorbeeld-knop. Het is leerzaam om met de ◄ ► knoppen heen en terug te gaan door de
lijst van uitgevoerde bewerkingen en zo de effecten van elke bewerking terug te zien in de matrix.
De echelon- en reductie-knop geven een kant-en-klare oplossing, maar het is leerzaam om in plaats daarvan zelf één voor één
de rij-bewerkingen uit te voeren m.b.v. van de knoppen daaronder.

Algoritme voor de echelonvorm:
a.  zoek de spil (Eng. pivot), het eerste niet-nul element in de eerste kolom van de matrix
b.  verwissel zonodig 2 rijen (bewerking 1), zodat de spil op de eerste rij komt
c.  vermenigvuldig elk element van de spilrij met de inverse van de spil (bewerking 2), zodat de spil gelijk wordt aan 1
d.  tel veelvouden van de spil op bij de rijen eronder (bewerking 3), zodat elk element in de spil-kolom van die rijen nul wordt

Om de gehele matrix in echelonvorm te brengen:
e.  herhaal stap a t/m d,  sla daarbij de vorige spilrijen over
f.  ga door tot er geen spil meer bewerkt hoeft te worden.

Gereduceerde echelonvorm, ofwel terugwaarts substitueren
Met terugwaartse substitutie kan de oplossing gevonden worden:
g.  zoek de onderste rij met een spil gelijk aan 1 en laat dit de spilrij zijn
h.  tel veelvouden van de spil bij de rijen erboven (bewerking 3) zodat elk element boven de spil nul wordt
i.  ga rij voor rij naar boven en herhaal stap g t/m h voor elke rij
j.  tenslotte ontstaat er een eenheidsmatrix (geheel of deels) en kan de oplossing worden afgelezen uit de rechter kolom.

Kleuren
-  echelonvorm: de elementen in de linker benedendriehoek hebben een blauwe kleur
-  strijdig stelsel (zie hierna): de 'strijdige' rij (alle coëfficiënten nul en oplossing niet-nul) heeft een rode kleur.

Mogelijk oplossingen van het stelsel
Zie de diverse voorbeelden onder de voorbeeld-knop.

a.  één oplossing
    als na Gauss-eliminatie een eenheidsmatrix ontstaat, dan heeft het stelsel precies één oplossing, zie voorbeeld 1

b.  oneindig veel oplossingen
    komen er naast de eenheidsmatrix nog andere kolommen voor, dan zijn er één of meer 'vrije' variabelen
    en heeft het stelsel oneindig veel oplossingen, zie voorbeeld 3 en 4

c.  géén oplossing
    als er in de echelonvorm een rij ontstaat met uitsluitend nullen en de overeenkomstige oplossing is ongelijk nul,
    dan heeft verder reduceren geen zin: er is géén oplossing mogelijk,  het is een zgn. 'strijdig' stelsel, zie voorbeeld 2.

nieuwe matrix invoeren
-  naam of korte omschrijving (optioneel)
-  dimensie: aantal rijen = aantal vergelijkingen en aantal kolommen = aantal onbekenden (variabelen)

-  per vergelijking een matrixrij invoeren met de coëfficiënten, én de oplossing
    de oplossing wordt automatisch in een extra kolom geplaatst, rechts van de zwarte streep,
    zie invoervoorbeeld van een 3 x 3 matrix waarbij autom. een vierde kolom wordt geopend voor de oplossingsverzameling
-  tussen de getallen: één spatie of komma
-  getallen: decimale punt i.p.v. komma (bijv. 3.125)
-  pi, e en breuken zoals 2/3 worden omgezet in hun decimale waarde

-  einde rij: enter-toets
-  einde invoer: klik op enter-knop

voorbeeld
stelsel van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden

(1)   x - 2y + z = 0
(2)   x - y - 3z = 7
(3)   -4x + 5y + 9z = -19

wordt als volgt ingevoerd:



matrix bewaren
-  kies matrix nummer (M1 t/m M9)
-  klik op save-knop
-  maximaal 9 matrices worden in het geheugen bewaard

bestaande matrix ophalen
-  kies matrix nummer (M1 t/m M9)
-  klik op load-knop

bewerkingen
-  voor uitleg over de matrixrij-bewerkingen, klik op de uitleg-knop

afronding getallen
-  de standaard afronding is op 2 decimalen.
-  bepaal hieronder op hoeveel decimalen moet worden afgerond, minimaal 0 en maximaal 6 decimalen.

afronding resultaten:
 decimalen   ( 0 t/m 6 )     toepassen

Voorbeelden

Klik op één van de voorbeelden hieronder
en daarna op de knoppen 'echelon' en 'reductie'.