WISkunst
wiskunde in  beeld gebracht
matrix toepassing
cirkel door 3 punten
versie  2.4
Met dit scherm kan een cirkel getekend worden door 3 gegeven punten.

Door 3 verschillende punten, die niet op een rechte lijn liggen, gaat nl. precies één cirkel.
De algemene cirkelvergelijking is:  (x - x0)2 + (y - y0)2 = r2     met M = (x0, y0)  en  straal = r.
Deze vergelijking kan worden herschreven als:  ax + by + c = - x2 - y2,   lees meer...

Substitutie van de coördinaten van de punten levert een stelsel van 3 lineaire vergelijkingen op met 3 onbekenden: a, b en c.
Die kunnen worden opgelost m.b.v. een 3 x 3 matrix.

Voer de co÷rdinaten van de punten in (help), en klik op de bereken-knop. Dan worden de matrix en cirkel getoond.
   
bereken
schuif met de cursor over de rode punten, dan worden de co÷rdinaten zichtbaar
Vergelijkingen (1e matrix):
    (1)
    (2)
    (3)
Oplossing (2e matrix):
    p =
    q =
    r =
Cirkelvergelijking:
    x0 =
    y0 =
    r2 =
    (x - x0)2 +
    (y - y0)2 = r2

Een cirkel door 3 punten
De algemene cirkelvergelijking is   (x - x0)2 + (y - y0)2 = r2.
Ofwel:  x2 - 2 x0 . x + x02 + y2 - 2 y0 . y + y02 - r2 = 0.
Anders gerangschikt:   x2 + y2 - 2 x0 . x - 2 y0 . y + x02 + y02 - r2= 0.
Dit kan herschreven worden als:   x2 + y2 + ax + by + c = 0,  ofwel  ax +by + c = - x2 - y2   waarbij:
    a = -2 . x0
    b = -2 . y0
    c = x02 + y02 - r2.
Substitutie van de coördinaten van de punten levert 3 lineaire vergelijkingen op met a, b en c als onbekenden.

Voorbeeld: punten (1,7), (4,6) en (6,2)
    (1)   1a + 7b + c = -50
    (2)   4a + 6b + c = -52
    (3)   6a + 2b + c = -40.
Met matrix rij-operaties worden de vergelijkingen opgelost: a = -2,   b = -4,   c = -20
    a = -2 . x0  -->  x0 = -2 / -2 = 1
    b = -2 . y0  -->  y0 = -4 / -2 = 2
    c = x02 + y02 - r2  -->  r2 = 20 + 12 + 22 = 25
De cirkelvergelijking wordt  (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25,   een cirkel met middelpunt (1,2) en straal 5.
Coördinaten invoeren

-  als x,y   dus x en y gescheiden door een komma
-  eventueel een spatie na de komma, dus als x,  y
-  3 verschillende punten
-  punten niet op een rechte lijn
-  voor getallen met decimalen: gebruik de decimale punt
-  klik daarna op 'bereken'.


Afronding resultaten
-  standaard op 2 decimalen
-  na wijziging klik op 'toepassen'.

 decimalen   ( 0 t/m 6 )
toepassen
sluit

Voorbeelden van matrix toepassingen
een cirkel door 3 punten (1)
een cirkel door 3 punten (2)
een cirkel door 3 punten (invoer onjuist!)
een parabool door 3 punten
lineaire vergelijkingen oplossen
warmteplaat
verkeersnetwerk
spoorwegkaart
kleurverloop