WISKUNST
wiskunde in beeld gebracht
wiskunde & muziek
boventonen (1)
versie  2.3

Boventonen
Een toon van een muziekinstrument, en ook een gezongen toon, klinkt in meerdere frequenties tegelijk.
De laagste frequentie heet grondtoon, de hogere frequenties boventonen.
Hoewel ze zacht meeklinken zijn boventonen in de muziek erg belangrijk. Ze maken de klank warmer, rijker en voller.
De muziektoon is, natuurkundig gezien, een samengestelde geluidsgolf, bestaande uit meerdere sinusgolven.

Grondtoon- en boventoonfrequenties verhouden zich (bij benadering) als een 'mooie' reeks, nl. 1 : 2: 3 : 4: 5 : 6 : 7, enz.
Bij sommige instrumenten zoals pauken, gongs, kerkklokken, en ook bij de laagste snaren van de piano, zijn de boventonen
niet-harmonisch, dus niet een geheel veelvoud van de grondtoon.

Amplitudes van boventonen
In tegenstelling tot de frequenties verhouden de amplitudes zich niet als een 'mooie' reeks. Hun onderlinge verhouding
varieert per instrument (en zangstem) en geven het instrument een eigen klankkleur.

Geluidsvoorbeeld: een pianotoon.
De boventonen in dit voorbeeld zijn enigszins versterkt om ze beter te kunnen horen. Pas zonodig het volume aan.


Voorbeelden van verschillen per instrument:
-  de viool is rijk aan boventonen, bij de piano klinken de boventonen aanzienlijk zwakker, zie frequentie-analyse
-  bij een hobo klinken de laagste boventonen relatief luid, bij een fluit domineren de hogere boventonen.
(laag en hoog in relatieve zin, dus t.o.v. de grondtoon)

In het algemeen geldt:
- hoe hoger de boventonen t.o.v. hun grondtoon, hoe zachter ze klinken (of ze worden onhoorbaar)
- en hoe meer ze daarmee gaan disharmoniëren
- en hoe meer ze gaan afwijken van tonen op de piano.
Gelukkig voor onze muzikale oren zijn hogere boventonen doorgaans niet meer te horen.

Grafische weergave muziektoon
Onderstaand voorbeeld geeft aan hoe de muziektoon een 'optelsom' is van de grondtoon en één of meer boventonen.
Het aantal boventonen is hier beperkt tot 4. In werkelijkheid kunnen er oneindig veel boventonen zijn.
Kies welke boventonen meeklinken (1e, 2e, 3e en/of 4e) en met welke sterkte (% van grondtoon,  grondtoon = 100%).
Bij het wijzigen van amplitudes afsluiten met de enter-toets, dan wordt de grafiek opnieuw berekend.
Samengestelde harmonische trilling
Zoals bovenstaand voorbeeld laat zien, is de muziektoon een samengestelde harmonische trilling.
Ook is goed te zien dat muziektoon en grondtoon dezelfde frequentie (toonhoogte) hebben.

In formulevorm:

u(t) =  A1 sin (2π . ƒ1t)  +  A2 sin (2π . ƒ2t)  +  ... +  An sin (2π . ƒnt).

De grondtoon wordt wel de eerste boventoon genoemd en de boventonen worden genummerd vanaf twee, dus 2, 3, 4, 5 ...
Die methode is ook toegepast in deze formule.
Aangezien de frequenties zich verhouden als 1 : 2 : 3 : 4 : 5 ...  geldt:  ƒ2 = 2ƒ1,   ƒ3 = 3ƒ1  en algemeen:  ƒn = nƒ1
De formule kan daarom herschreven worden als:

u(t) =  A1 sin (2π . ƒ1t)  +  A2 sin (2π . 2ƒ1t)  +  ... +  An sin (2π . nƒ1t).

ofwel:
u (t) = An sin (2π . nƒ1t)

Σ
n=1

grondtoon

1e
boventoon

2e
boventoon

3e
boventoon

4e
boventoon
JW Player
start