WISKUNST
wiskunde in beeld gebracht
wiskunde & muziek
boventonen (2)
versie  2.3

Notenbeeld van de eerste 32 boventonen

In het algemeen geldt:
-  hoe hoger de boventonen t.o.v. hun grondtoon, hoe zachter ze klinken (of ze worden onhoorbaar),
-  en hoe meer ze gaan disharmoniëren met hun grondtoon,
-  en hoe meer ze gaan afwijken van tonen op de piano
-  en hoe dichter ze bij elkaar komen te liggen, zie onderstaand notenvoorbeeld.
Vooral de lage boventonen (dus dichtbij de grondtoon) zijn van belang.



Het notenvoorbeeld toont de eerste 32 boventonen vanaf de lage c (officiële naam: C2,  frequentie: 65.4Hz)
Nummer 1 is de grondtoon (lage c). Boventonen zijn oplopend genummerd vanaf 2.
Het 1e octaaf is 'leeg' (geen tonen tussen 1 en 2).
Het 2e octaaf wordt opgevuld met een kwint (3).
Het 3e octaaf wordt opgevuld met een dominant-septiemakkoord (5 - 6 - 7).
Het 4e octaaf wordt eerst opgevuld met grote secundes en daarna met kleine secundes (9 t/m 15).
Het 5e octaaf wordt opgevuld met 15 steeds dichter bijelkaar liggende tonen. Die tonen kunnen we niet in het ons
bekende notenschrift weergeven en niet op de piano terugvinden, aangezien ons octaaf 12 halve toonsafstanden telt.
Lager of hoger betekent: de boventoon klinkt iets lager of hoger dan de betreffende toon op de piano.

Boventoonreeksen hebben altijd dit vaste patroon. Dat geldt dus niet alleen voor de lage c, maar ook voor andere tonen.
Boventonen en pianostemming


De gekleurde toetsen zijn:
-  de lage c  (volgnummer 1,  toon C2,  65.4Hz)
-  de eerste 11 boventonen (volgnummers 2 t/m 12), voorzover deze te vinden zijn op de piano!

Boventonen en pianotonen lopen 'uit de pas', hun frequenties komen niet exact overeen.
Dat heeft de volgende reden:
-  grondtoon- en boventoonfrequenties verhouden zich als de reeks 1 : 2 : 3 : 4 : 5, etc.
-  pianotonen worden gestemd volgens de gelijkzwevende stemming,
   daarbij wordt het octaaf verdeeld in 12 intervallen van 21/12 ≈ 1.05946,  zie gelijkzwevende stemming.
Het zal geen verassing zijn dat de frequenties van beide systemen uit de pas gaan lopen, zie onderstaande tabel.

Frequenties zijn vermeld in Hz, afgerond op 1 decimaal.
Van de boventonen die het meest afwijken (rood), zou een musicus zeggen: die klinken dusdanig afwijkend, dat ze niet
op de piano te vinden zijn.

volgnummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
pianotoon C2 C3 G3 C4 E4 G4 B♭4 ? C5 D5 E5 F♯5 ? G5
freq. piano 65.4 130.8 196.0 261.6 329.6 392.0 466.2 523.2 587.3 659.3 740.0 784.0
freq. boventoon 65.4 130.8 196.2 261.6 327.0 392.4 457.8 523.2 588.7 650.1 719.5 784.9
afwijking % 0% 0% +0.1% 0% -0.8% +0.1% -1.8% 0% +0.2% -0.9% -2.8% +0.1%