WISKUNST
wiskunde in beeld gebracht
wiskunde & muziek
toonhoogte, sterkte, klankkleur
versie  2.2

Muziektoon
Een muziektoon is, natuurkundig gezien, een geluidsgolf (luchttrilling) met een periodieke frequentie.
Periodiek wil zeggen: regelmatig. Als de frequentie niet regelmatig is horen we ruis, gebrom, e.d.

De karakteristieken van een muziektoon zijn:

frequentie aantal trillingen per seconde, gemeten in Hz (herz)
de frequentie bepaalt de toonhoogte
hoe hoger de frequentie, hoe hoger de toon
voorbeeld:          
amplitude maximale uitwijking van de trilling
de amplitude bepaalt het sterkte van de toon
hoe groter de amplitude, hoe sterker de toon klinkt
golfvorm vorm van de trilling (geluidsgolf)
de vorm bepaalt de klankkleur
met de toon klinken een aantal boventonen mee
hoe meer boventonen, hoe rijker en voller de klank
ze geven de trilling een karakteristieke golfvorm


Sinusgrafiek
Een 'kale' muziektoon, zonder boventonen, heeft de vorm van een sinusgrafiek. De grafiek ziet er mooi regelmatig uit, maar
de klank is naar onze muzikale maatstaven niet 'mooi'. Denk bijvoorbeeld aan het geluid van keyboards in hun beginjaren.
 
formule u(t) = A sin (2πƒ t)
u(t) uitwijking van de trilling in de tijd (t)
A amplitude, maximale uitwijking
ƒ frequentie in Hz


De golflengte (λ) is de breedte van één sinus. Frequentie en golflengte zijn omgekeerd evenredig aan elkaar, dus λ = 1 / ƒ.

Bij een muziektoon klinken ook boventonen mee. De grafiek van een toon is de resultante van de grondtoon plus een aantal
boventonen bij elkaar 'opgeteld'. Die grafiek ziet er in werkelijkheid meer 'gekarteld' uit, zoals hieronder blijkt uit het
voorbeeld van de klarinet. Zie verder bij boventonen.


Voorbeelden van golfvormen

klarinet toon a' = 440Hz


piano toon a' = 440Hz



Snaarlengte en toonhoogte
Reeds in de 5e eeuw v.Chr. deed Pythagoras expirimenten met een monochord, een 1-snarig instrument. Hij onderzocht de
relatie tussen snaarlengte en toonhoogte. Overigens waren trillingssnelheden (frequenties) in zijn tijd nog niet bekend.
Bij snaarinstrumenten geldt: hoe korter de snaar, des te hoger de toon. De vraag is: hoeveel hoger bij hoeveel korter?


cel 1 cel 2 cel 3
 fig. 1 λ1 = 1  fig. 2 λ2 = 1/2  fig. 3 λ3 = 2/3

Als we een snaar op de gitaar aanslaan, dan zal die snaar gaan trillen. Het zal een staande golf zijn in de vorm van een
sinusgrafiek. De beide uiteinden van de snaar zijn de nulpunten van de grafiek.

fig. 1   Stel de golflengte λ1 = 1.

fig. 2   Als we de snaar halverwege indrukken, dan wordt de golflengte de helft, dus λ2 = ½. Omdat golflengte en frequentie
omgekeerd evenredig zijn, wordt de frequentie tweemaal zo hoog, dus ƒ2 = 2 . ƒ1.  De toon klinkt tweemaal zo hoog.
Dat verschil in toonhoogte wordt octaaf genoemd. Voor wie niet bekend is met intervallen, zie tonen en intervallen.

fig. 3   Als we de snaar op 2/3 indrukken wordt de golflengte 2/3. De frequentie wordt 3/2 maal zo hoog, dus ƒ3 = 3/2.
De toon klinkt 3/2 maal zo hoog. Dat verschil in toonhoogte wordt kwint genoemd.

golflengte frequentie interval voorbeeld
1/2 x kleiner 2/1 x hoger octaaf hoger
2/3 x kleiner 3/2 x hoger kwint hoger


Met de frequentieverhoudingen (kortweg ratio's) van octaaf en kwint kunnen andere intervallen worden berekend.

Een kwart:
de afstand van kwint naar octaaf heet kwart,
ratiokwart = ratiooctaaf : ratiokwint = 2/1 : 3/2 = 2/1 x 2/3 = 4/3
      --- octaaf ---

       kwint  kwart



Een grote secunde:
de afstand van kwart naar kwint heet grote secunde,
ratiosecunde = ratiokwint : ratiokwart = 3/2 : 4/3 = 3/2 x 3/4 = 9/8
      kwart

     --kwint--


Algemeen:
verschil tussen 2 intervallen ratio2  :  ratio1
som van 2 intervallen ratio1  x  ratio2

Op die manier kunnen de verhoudingen van alle intervallen van prime tot octaaf worden berekend, zie tabel met
reine intervallen.
De golfvorm van een klarinettoon van 440Hz
gedurende 10ms. Dat zijn 440/100 = 4.4 trillingen.
Inderdaad zijn er ruim 4 trillingen te zien.
Het geluidsfragment duurt uiteraard langer, nl. 5 sec.
De golfvorm van een pianotoon van 440Hz
gedurende 3 sec. Dat zijn in totaal 3 x 440 trillingen.
Duidelijk is het moment van aanslag te zien, daarna
neemt de amplitude af en blijft op een laag niveau doorklinken.
JW Player