WISkunst
wiskunde in  beeld gebracht
wiskunde & muziek
snaarlengte en toonhoogte
versie  2.4

Snaarlengte en toonhoogte
Reeds in de 5e eeuw v.Chr. deed Pythagoras expirimenten met een monochord, een 1-snarig instrument. Hij onderzocht de
relatie tussen snaarlengte en toonhoogte. Overigens waren trillingssnelheden (frequenties) in zijn tijd nog niet bekend.
Bij snaarinstrumenten geldt: hoe korter de snaar, des te hoger de toon. De vraag is: hoeveel hoger bij hoeveel korter?


cel 1 cel 2 cel 3
 fig. 1 λ1 = 1  fig. 2 λ2 = 1/2  fig. 3 λ3 = 2/3

Als we een snaar op de gitaar aanslaan, dan zal die snaar gaan trillen. Het zal een staande golf zijn in de vorm van een
sinusgrafiek. De beide uiteinden van de snaar zijn de nulpunten van de grafiek.

fig. 1   Stel de golflengte λ1 = 1.

fig. 2   Als we de snaar halverwege indrukken, dan wordt de golflengte de helft, dus λ2 = ½. Omdat golflengte en frequentie
omgekeerd evenredig zijn, wordt de frequentie tweemaal zo hoog, dus ƒ2 = 2 . ƒ1.  De toon klinkt tweemaal zo hoog.
Dat verschil in toonhoogte wordt octaaf genoemd. Voor wie niet bekend is met intervallen,  lees meer....

fig. 3   Als we de snaar op 2/3 indrukken wordt de golflengte 2/3. De frequentie wordt 3/2 maal zo hoog, dus ƒ3 = 3/2.
De toon klinkt 3/2 maal zo hoog. Dat verschil in toonhoogte wordt kwint genoemd.
Klik op de play-knop voor geluidsfragmenten.

golflengte frequentie interval voorbeeld
1/2 x kleiner 2/1 x hoger octaaf hoger
2/3 x kleiner 3/2 x hoger kwint hoger


Met de frequentieverhoudingen (kortweg ratio's) van octaaf en kwint kunnen andere intervallen worden berekend.

Een kwart:
de afstand van kwint naar octaaf heet kwart,
ratiokwart = ratiooctaaf : ratiokwint = 2/1 : 3/2 = 2/1 x 2/3 = 4/3


Een grote secunde:
de afstand van kwart naar kwint heet grote secunde,
ratiosecunde = ratiokwint : ratiokwart = 3/2 : 4/3 = 3/2 x 3/4 = 9/8

Algemeen:
verschil tussen 2 intervallen ratio2  :  ratio1
som van 2 intervallen ratio1  x  ratio2
      --- octaaf ---

       kwint  kwart
      kwart

     --kwint--
Op die manier kunnen de verhoudingen van alle intervallen worden berekend, zie tabel met intervallen.

De komma van Didymos
Bij de grote secunde doet zich iets merkwaardigs voor: er kunnen 2 verschillende ratio's worden berekend: 9/8 en 10/9!
-  van reine kwart naar reine kwint:   3/2 : 4/3 = 3/2 x 3/4 = 9/8.
-  van kleine terts naar reine kwart:   4/3 : 6/5 = 4/3 x 5/6 = 20/18 = 10/9.

Daarom wordt wel onderscheid gemaakt tussen :
-  kleine hele toon  (ratio 10/9)
-  grote hele toon   (ratio 9/8)
Het verschil daartussen is 9/8 : 10/9 = 9/8 x 9/10 = 81/80 = 1.0125 en wordt de komma van Didymos genoemd, naar de
ontdekker ervan (1e eeuw v.Chr.).

Dit verschijnsel doet zich ook voor bij andere intervallen: klein septiem, overmatige kwart en verminderde kwint.
Bijvoorbeeld klein septiem:
-  grote sext + kleine secunde:   5/3 x 16/15 = 80/45 = 16/9.
-  kwint + kleine terts:   3/2 x 6/5 = 18/10 = 9/5.

Bij het stemmen van de piano worden al deze verschillen weggenivelleerd, zie bij  gelijkzwevende stemming.
Er bestaat overigens nog een 'komma':  de komma van Pythagoras, zie ook gelijkzwevende stemming.
JW Player