WISKUNST
wiskunde in beeld gebracht
wiskunde & muziek
frequentie-analyse
versie  2.3
Frequentie-analyse
Het verschil in klankkleur tussen bijv. een viool, piano of stemvork wordt voornamelijk bepaald door de boventonen
die meeklinken met de grondtoon. Bij een stemvork zijn er nauwelijks boventonen te horen. Maar hoe zit dat bij een viool
of piano? Het is voor onze oren moeilijk en veelal onmogelijk om precies te bepalen welke boventonen meeklinken,
en hoe sterk ze meeklinken.

Dat gaat beter met een frequentie-analyse, ofwel een FFT-diagram (Fast Fourier Transform).
Ter vergelijking volgen hierna de diagrammen voor een toon van 440Hz van resp. viool en piano.
Het FFT-diagram toont horizontaal de toonhoogte (in Hz), en verticaal de sterkte (in dB).
Daarnaast een tabel met de waarden voor de grondtoon (nr. 1) en de eerste 10 boventonen (nr. 2 - 11).

De onderste tabelregel toont de sterkte waarin boventonen meeklinken (in % van grondtoon,  grondtoon = 100%).
Hieruit blijkt direct dat de boventonen bij de piano aanmerkelijk zwakker zijn dan bij de viool, met name vanaf nr. 7.
Klik op onderstaande play-knoppen voor een geluidsfragment.
viool
-23dB
-90dB
0Hz
10.000Hz
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
nr.12345 678910 11
toonA4A5E6A6C#7 E7G7A7B7C#8 D#8
Hz440884131917632194 26553113354439554425 4870
dB-23.0-24.5-29.3-35.7-41.1 -52.3-39.1-40.8-50.2-54.3 -61.8
%100%84%48%23%12% 3%16%13%4%3% 1%
piano
-23dB
-90dB
0Hz
10.000Hz
1
2
3
4
5
6
7
8
nr.12345 678910 11
toonA4A5E6A6C#7 E7G7A7B7C#8 D#8
Hz440886132617662215 26753135359740744561 5039
dB-23.4-34.8-36.9-40.6-53.3 -57.4-74.4-66.1-75.3-79.5 -85.1
%100%27%21%14%3% 3%0.3%0.7%0.2%0.2% 0.1%

Verder blijkt uit de tabellen het volgende:
-  De boventoonfrequenties zijn geen exacte veelvouden van 440Hz, maar een redelijke benadering daarvan.
    Bijvoorbeeld viool toon nr. 2: niet 880Hz maar 884Hz, piano toon nr. 5: niet 2200Hz maar 2215Hz.

-  De intervallen tussen grond- en boventonen zien er uit als een 'bekend' notenbeeld; het is een vast patroon:
    -  nummer 1 en 2:  het 1e octaaf is 'leeg': A4 en A5, zonder tussenliggende boventonen
    -  nummer 2, 3 en 4: het 2e octaaf is opgevuld met een kwint: A5, E6, A6,  en zo verder.
    Voor meer info daarover zie notenbeeld boventonen.

N.B.
De voorbeelden zijn weliswaar karakteristiek voor viool en piano, maar elke individuele viool en piano heeft zijn eigen
klankkleur. Dat geldt voor alle muziekinstrumenten, inclusief de menselijke zangstem.

Van decibel naar amplitudes
De decibel (dB) is de sterkte van geluid op een logaritmische schaal. Een verschil tussen grond- en boventoon van bijv.
-20dB, -40dB of -60dB betekent dat de boventoon resp. 10, 100 of 1.000 keer zwakker klinkt dan de grondtoon.

De diagrammen geven de sterkte van de tonen weer in dB, met waarden tussen -23dB en -90dB, waarbij -23dB de waarde
van de grondtoon is. Om de golfvorm van een muziektoon te kunnen afbeelden moet het niveauverschil in dB omgerekend
worden naar een niveauverschil in amplitude. Die omrekening gaat als volgt:

Noem het niveauverschil in dB tussen grondtoon en boventoon:  Ln.
Noem de amplitudes van grond- en boventonen:  A1, A2, A3, ... An
Dan geldt:

An / A1 = 10Ln/20     (bron: wikipedia).

Voorbeelden:
-  niveau grondtoon = -23dB
-  niveau boventoon = -17dB,   dus  Ln = -17 + 23 = +6   en  An / A1 = 106/20 = 2,boventoon 2x sterker dan grondtoon
-  niveau boventoon = -43dB,  dus  Ln = -43 + 23 = -20  en  An / A1 = 10-20/20 = 0.1,  boventoon 10x zwakker dan grondtoon

Op die manier zijn in onderstaande grafiek de amplitudes van de eerste 10 boventonen bepaald in verhouding tot de
grondtoon  (amplitude A1 = 100).  In dit voorbeeld is er tussen grond- en boventonen geen faseverschil.

Animatie
Klik op start om te zien hoe de golfvorm van de viooltoon gaandeweg
verandert als grond- en boventonen één voor één worden 'toegevoegd'.
Of zet zelf de vinken.
nrtoonHzdBampl
1A4 440 -23.0 100
2A5 884 -24.5 84
3E6 1319 -29.3 48
4A6 1763 -35.7 23
5C#7 2194 -41.1 12
6E7 2655 -52.3 3
7G7 3113 -39.1 16
8A7 3544 -40.8 13
9B7 3955 -50.2 4
10C#84425 -54.33
11D#84870 -61.81
JW Player