WISKUNST
wiskunde in beeld gebracht
wiskunde & muziek
staande golven
versie  2.3

Staande golven
Staande golven ontstaan door interferentie van twee lopende golven met gelijke amplitude en frequentie maar tegen-
gestelde voortplantingsrichting. Er ontstaat een regelmatige golfvorm van stilstaande punten, de knopen, en punten met
een maximale uitslag, de buiken. Bij de knopen doven de golven elkaar uit. Bij de buiken versterken ze elkaar maximaal,
daar wordt de amplitude tweemaal zo groot.

Dit verschijnsel van staande golven treedt op tijdens het bespelen van snaarinstrumenten, zoals gitaar, viool en piano.
En ook bijvoorbeeld in de luchtkolom van een aangeblazen orgelpijp of trompet.
De heengaande golf langs een snaar zal het einde van de snaar raken en teruggekaatst worden als lopende golf in
tegengestelde richting, hetgeen resulteert in een staande golf.

Boventonen
Een staande golf kan echter alleen bestaan als de golflengte 'past' in de ruimte die in het muziekinstrument ter beschikking
staat. In een aangeblazen orgelpijp ontstaan golven met allerlei frequenties en golflengtes, maar alleen 'passende' golflengtes
kunnen blijven bestaan, andere golflengtes zullen uitdoven.
Noem de gollengte λ en de pijplengte L.
Een staande golf treedt op als:  λ = 2L  (grondtoon),  λ = L  (1e boventoon),  λ = 2/3L  (2e boventoon), etc.
Dat verklaart waarom er met de grondtoon ook boventonen meeklinken.

Animatie
Onderstaande animatie toont een heen- en teruggaande golf (rood en groen) die resulteren in een staande golf (blauw).
Klik op start en kies golf 1, golf 2, golf 1 en 2 samen, of de resultante daarvan: een staande golf.
(De animatie vraagt de nodige rekenkracht van uw pc).

In de animatie is te zien dat bij een staande golf alle punten tegelijkertijd door de x-as (of evenwichtslijn) gaan.

Formule staande golf
De heen- en teruggaande golf hebben, in een ideale situatie, dezelfde frequentie ƒ en amplitude A maar tegengestelde
hoekfase φ.  De formule voor een staande golf (in één dimensie) kunnen we dan als volgt afleiden:

1e golf:   u(t)1  = A cos (2π ƒt - φ)
2e golf:   u(t)2 = A cos (2π ƒt + φ)
staande golf:   u(t)s = A cos (2π ƒt - φ) + A cos (2π ƒt + φ)

Met de formules van Simpson kan dat herleid worden tot:
u(t)s = 2A cos (φ) . cos (2π ƒt)

De afstand tussen 2 knopen, of tussen 2 buiken, is gelijk aan de halve golflengte: ½λ      (λ = 1/ƒ).

Quasi-staande golven
In de praktijk zullen de twee amplitudes niet gelijk zijn aan elkaar. Door vermogensverlies heeft de teruggaande golf
een lagere amplitude dan de heengaande golf. Het is dan strikt genomen geen staande golf meer, maar een quasi-staande
golf die beweegt in dezelfde richting als de golf met de grootste amplitude.

Animatie:
Wijzig desgewenst de amplitudes A1 en A2  (waarden: 0.00 t/m 4.00), toets enter en klik op start.
De beweging van de quasi-staande golf doet enigszins denken aan een soort van 'zwembeweging'.
(De animatie vraagt de nodige rekenkracht van uw pc).

Formule quasi-staande golf met onderliggende amplitudes A1 en A2:

u(t)q = A1 cos (2π ƒt - φ) + A2 cos (2π ƒt + φ)

Staande-golfverhouding
Zoals de animatie laat zien, zijn er geen knopen meer maar plaatsen met een minimale amplitude (> 0).

De staande-golfverhouding, kortweg SGV, is de verhouding tussen de maximale en minimale amplitude.
De SGV geeft aan in hoeverre de quasi-staande golf de ideale situatie van een staande golf benadert.

Als A1 = amplitude heengaande golf en A2 = amplitude teruggaande golf, dan is:

SGV = Amax / Amin  =  (A1 + A2) / (A1 - A2)     waarbij A1 ≠ A2