WISKUNST
wiskunde in beeld gebracht
wiskunde & muziek
akoestische zweving
versie  2.3

Akoestische zweving
Dit verschijnsel treedt op bij het samenvoegen van 2 tonen met slechts een klein verschil in frequentie.
Bij een zuivere zweving zijn beide amplitudes gelijk aan elkaar.
De resulterende toon wordt sterker en zwakker, met een veel lagere frequentie. Dat is het 'zweven' van de toon.

De toppen en dalen van beide tonen zullen elkaar soms versterken, nl. als ze in fase zijn en soms verzwakken of zelfs
uitdoven, nl. als uit fase zijn. Zie de grafiek hierna. De hoorbare zweving heeft een frequentie die precies gelijk is aan
de verschilfrequentie. Bij bijvoorbeeld 2 tonen van 239Hz en 240Hz horen we 1 zweving per seconde.
Algemeen gezegd:  ƒz = | ƒ1 - ƒ2|,  zie hieronder voor meer uitleg.

Geluidsvoorbeelden
Klik op één van de 6 knoppen,  de 1e toon is 240Hz,  de 2e toon is iets lager, zoals aangegeven.
voorbeeld:

A1 = A2 = 1
ƒ1 = 200Hz
ƒ2 = 220Hz
t = [0,  1/10 sec]

ƒr = 210Hz
ƒz = 20Hz
Naarmate het frequentieverschil groter wordt zal de zweving steeds sneller klinken. Er ontstaat dan een 'ruwe' klank
(voorbeeld -10Hz). Bij verdere toename worden gaandeweg 2 afzonderlijke tonen hoorbaar (voorbeeld -40Hz).

Bij sommige muziekinstrumenten, zoals oude kerkorgels, is zweving goed te horen.
Moderne toetsinstrumenten, zoals piano, orgel, keyboard, e.d., worden gestemd volgens de gelijkzwevende stemming.
Naar mijn mening is die benaming niet juist, aangezien er daarbij niet sprake is van zweving in de betekenis zoals hier wordt
besproken.


Grafische weergave
Zwevingsfrequentie
De zwevingsfrequentie is aanzienlijk lager is dan de samengestelde frequentie. Dat kan als volgt worden verklaard.
Een toon kan worden weergegeven als u(t) = A cos ( 2πƒt + φ ), waarbij ƒ = frequentie in Hz (trillingen per sec.)

Voorbeeld:
Ga uit van 2 tonen: 200Hz en 220Hz, beide met A = 1 en φ = 0.
Dus u(t)1 = cos (200 . 2πt) en u(t)2 = cos (220 . 2πt).
De resulterende toon ur(t) = cos (200 . 2πt) + cos (220 . 2πt).
Dit is met de formule van Simpson te herleiden tot een produkt van 2 cosinussen: ur(t) = 2 . cos (10 . 2πt) . cos (210 . 2πt).
De toon die we horen:
-  is een toon van 210Hz  (rechter cosinus van het produkt)
-  met een amplitude die varieert van 0 naar 2 met een lage frequentie van 10/sec.  (linker cosinus van het produkt),
   voor ons gehoor maakt het niet uit of de linker cosinus plus of min is, m.a.w. we ervaren een zweving van 2 x 10 = 20/sec.

Samengevat:
-  de resulterende frequentie is het gemiddelde van beide frequenties:  ƒr = ½ (ƒ1 + ƒ2),
   in dit voorbeeld ƒr = ½ (200 + 220) = 210Hz
-  de hoorbare zwevingsfrequentie is het verschil van beide frequenties:  ƒz = | ƒ1 - ƒ2|,
   in dit voorbeeld ƒz = |200 - 220| = 20Hz.
uit fase
|
   in fase
   |
uit fase
|
ƒ1 = 200Hz
ƒ2 = 220Hz
ƒr = 210Hz
½ƒz = 10Hz
-0.5Hz
-1Hz
-2Hz
-3Hz
-10Hz
-40Hz
JW Player